《西安半坡遗址陶器、元君庙遗址陶器之“纹点三角形”考释——“数学天文学”的“视运动”概念（五）》

张天弓

原始人类怎样记数？何时开始记数？何时开始计算数？记数、计算数之前还有图形，包括几何图形，数与形的关系如何？这是探究人类文明起源的一个重要课题。【1】〔法〕列维—布留尔《原始思维》第四章、第五章从原始人的思维与他们的语言的关系，依据收集的大量的原始材料对原始民族语言的记数、计数法进行了深入研究，有一定的参考意义。该书把不属于“地中海文明”民族的“原始人”的思维方式称作“原始思维”，中国远古的思维方式也被界定在“原始思维”之中，这是“欧洲中心论”的历史观，不符合历史真实。（丁由译，商务印书馆，1981年版，第131—218页）本文所探讨的这个“纹点三角形”所表达的数学天文学的算法与数值，可以与“地中海文明”举行比较研究，至少可以说明人类的科学思维的起源是多元的，或者说是一体多的。

华夏先民的数学思维，一开始就是天文学的运算与数值，这是称名为“数学天文学”的主因。其独特个性就是“数形交合”的干支集合论函数，这是欧几里得《几何原本》之前的天文学的平面几何学。这里探讨的是陕西仰韶文化陶器（约公元前4800年公元前2000年）上的“纹点三角形”（图1），就是这种天文学视运动的“数形交合”的一种样本。

图1

图2                                                      图3

图1左图为西安半坡出土的陶器残片,上面有“纹点三角形”(图2）。今研究者认为，这属于“原始计数方法”中的“数与形的关系”，是原始人类与自然接触的实践中获得的“关于数与形及其关系的认识”，表示“一个顶点在下、每边8个孔的等边三角形，八排平行的孔，每一排比上一排少一个，这确实是数与形的完美结合”；右图是“属于仰韶文化的陕西华县元君庙墓地出土的陶器上也有类似的图案，纹点数更多”（图3），并进一步推论，这种数形结合可能诱发两种思维取向，一是实用化，一是神秘化。【2】郭书春《中国科学技术史·数学卷》第一章第二节中的“原始计数方法”之第三项论述“数与形的关系”。科学出版社，2010年版，第11—12页）这种分析的重点在“等边三角形”，也是合理的，很可惜，没有清点、计算“形”与“数”。原始人类的数学思维就在于实用，没有数值与算法就等于无用。

一

从数学天文学看，这个西安半坡的纹点三角形（图2）依据书契行款直行下行、横列左行的形制，大致有三种主要算法，一则计“数”、一则计“形”、一则计“数形交合”，均与等腰三角形相关。算法是：

三角形第一行斜边有纹点8个，依次递减至一行一个纹点，纹点总数36个，36与24对应，或者60＝36＋24，现作具体分析：

（1）8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36；36＋24＝60

（2）36为36个“旬”，或360度，或6个《干攴表》；（3）24为24时辰，牵连二十四节气，即360度；

（4）360度或36旬，即是36X10＝360；360度即是平

均十二个月，每个月3旬。

这种算法，是运算干攴集合论的三合函数，它关联年、月、日、时。请注意，24在运算的数值中，却是未见其明数，可以称作“隐数”。简单的说，见到数36，就会联想数24。

这个36个纹点的三角形的排序，是始于一行8个点而终于一行1个点，总共8行而形成一个等边三角形。这与“干攴集合论”的三合（亼）函数的算法相对应，可以说是运算“旬”字之黄金分割比例的初始。

（二）三角形中第1行为8个小三角形，后7行为28个小菱形，算法是：（1）8个三角形180度；（2）28个平行四边形360度；（3）运算这个纹点三角形中的数形交合：

a.28÷2＝56

b.56＋8＝64

c.64＝60

其64中的4，相当于运算四方，每一方可以是二十四。

（三）这种算法还是依据36个旬（周天360度基数）、与周日24度基数相牵连。24度牵可以连年、月、日、时。请注意，运算角度（刻度）依据“形”，运算角线依据“数”，二者在等边三角形、平行四边形中不是等值的，这涉及天文学运算中的“方圆关系”的问题，或者说“干攴集合论”的“三合（亼）”函数的问题。第一行8个三角形（180度），不同于后7行平行四边形（360度），这是一条很重要的原则。

（四）28个平行四边形（360度），一则可以表示外插法，即是28＝24＋4；一则可以表示内插法，即是28＋32＝60。这个28个360度非常关键，它是运算“二十八星宿”的数理，减去四方、四象即为24。这要专门探讨。

（五）这个纹点三角形（图3）的简化算法，就是把“纹点”皆连接成“线”，或者说等边三角形之“线”，总计此等边三角形加上一个大等边三角形：

（1）13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝49

（2）49＋1＝50

这种算法与数值，是以运算十为基数，可以进行更高层级的抽象化。【3】冯时《中国天文考古学》“早期北斗遗迹”专题中论述安徽潜山薛家岗出土七件石刀（公元前3360—公元前2920年，至公元前3264年—公元前2784年），石刀上有圆形钻孔，依次相加为1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49，认为“从1至13共分七级，均为奇数”；“49恰好也是7的倍数！古代的方士禳星祭斗，正是采用这个数字”。中国社会科学出版社，2017年版，第139页。按：古代数学天文学中的“数形交合”适应天文学运算的需要，与后来的单纯而抽象的几何学有差异，表现为数与形的复杂关系，同为数49，一则为组件，一则为等边三角形之和数，但均有天文学数值的意义。

总之，西安半坡这个纹点三角形的数理比较丰富，核心数值是：（1）36：24；（2）28个360度与8个180度；（3）64个180度，即是64＝60＋4，4即是运算四方、四方风。这与数学天文学视运动的数值与算法相关。这块陶片残缺严重，无法探知原形纹饰的全貌。

二

   陕西华县元君庙墓地出土的陶器上的纹点三角形（图1右），第一行为纵向斜边的10个小纹点，行点依次递减。止于第十行一个纹点（图4），总计这个三角形的纹点55个。

图5                                              图6

算法是：

（一）运算纹点三角形中的点：

（1）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55

（2）55÷2÷2÷2＝6.875

（3）6.875X0.9＝6.1875

（4）10＝6.18＋3.82

10＝6.18＋3.82的这种算法，是运算“旬”字的平均十日；1＝0.618＋0.382的这种算法，是运算“旬”字的平均一日，二者数理相通。这是非常重要的两种黄金分割比列的表达式，而10＝6.18＋3.82这种表达式更实用。

郭沫若《释支干》认为殷墟《支干表》有“三旬式”和“六旬式”两种，如果从“干攴集合论”看，分数运算二十二即为六旬式，分数运算十一即为三旬式。运算十一可与运算55交换。所以，这三种算法均可以运算黄金分割率。

（二）运算纹点三角形中的形：

（1）第一斜直行10个等边三角形，即是10个180度。

（2）第二行至第十行为菱形，依次是始于9个，止于1个，总计45个360度，即是9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45

图7

（3）360度可以为1°，45个360度则为45°，从天文学视运动的坐标体系看，殷商“癸”字三种形体（《铁云藏龟》112.3：《殷墟佚存:545）右上端表示春分点、对应秋分点，左上端表示冬至点、对应夏至点。前一形无出头短线，表示运算360度；后一形有出头短线，表示运用黄金分割率来运算基数360度之外插法。最右形为晚商《癸㱃卣》铭文“癸”字（图7），是南北极之中轴线，这表示周天视运动的基本坐标，是为静。甲骨文“癸”字二形则表示运转，是为动。

（4）此第一斜直行的10个三角形180度，有别于后面的菱形360度，二者可以交换运算：一则运算360度，数值为50（45＋5）个360度，二则运算180度，数值为120（110＋10）个180度。

（5）此元君庙遗址的陶器50（45＋5）个平行四边形360度，与西安半坡陶片50个等腰三角形180度，这两种数值、两种算法具有什么关系？可以继续探究。

（三）简化算法（图6）是把“纹点”皆连接成等边三角形的“线”，始于第一行17个等边三角形，第二行15个，终于一个，总计81个等边三角形。据此图形算法是：

（1）17＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋2＋1＝81

这种数81的算法是一个大等边三角形中一行一行的小等边三角形的相加，很容易联想起“九九”之数。李俨《中国算学史》在“上古时期”中有专论“九九”一项，主要依据传统文献，分析“乘法小九九”。【4】上海书店，1936年版，第5—6页）这是战国后期数学学科企望独立发展的一种表现，根源就是《干攴数理表》。

总之，陕西元君庙陶盆上的纹点三角形，核心数值是：（1）纹点数值55，可以运算黄金分割比例6.18:3.28；（2）纹点成形则为81个等边三角形180度，牵连干攴集合论三合函数；（3）纹点55的等边三角形排序是一行对九行，于是出现“九九”之数，成为中国古代数学的一个分界点。

（4）从这完整的陶盆的侧面影像看，这种纹点三角形涉及8个，如果陶盆整体设计是对称或均衡结构，那么这纹点三角形应该有16个，而可以形成8组，这就与天文学视运动的坐标体系基本相合。

三

中国古代数学史的研究，将专门学科或形成体系的数学界定在东汉《九章算术》（约公元一世纪）以后，这与中国古代天文学体系也成于汉代的判断是一致的，其共通点就是不知中国古代数学天文学。这个数学天文学不是萌芽，而是早熟体系。陕西仰韶文化遗址这两种纹点三角形的数值与算法，就是数学天文学视运动的一种特殊样本，其特殊性就在于等边三角形，是数形交合，可以与战国时期的楚国数学天文学相关联，尤其是与楚简《算表》的对应，这是一个值得关注的新课题。

西安半坡陶片的纹点三角形是第一行与后七行的关系，核心数值在纹点36个，华县元君庙陶盆的纹点三角形第一行与后九行的关系，核心数值是纹点55个与三角形81个，于是出现了运算黄金分割比例与九九之数，其根源在殷商《干攴表》。

《干攴数理表》第一个小方格“甲子·1:1”，依次到第九个小方格“壬申·9:9”，全部切分为二，即成为两组“1—9”，再反溯运算其积数，就是九九八十一、九八七十二等。简单地说，切分“干攴交合”中的“甲子·1:1”至“壬申·9:9”，这是分数，再反溯运算则是用乘数，不同的是“乘法小九九”是纯粹数学，完全从天文学中独立出来了。它应该早于“乘法大九九”。

西汉《周髀算经》记载：

　昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

关于商高答话的研究比较充分，基本认可“矩出于九九八十一”是指“乘法小九九”【5】程贞一、闻人军《周髀算经译注》解释：此“九九八十一”是指“乘法运算”。上海古籍出版社，2012年版，第41页）笔者认为，我们不知秭归遗址的数学天文学，就无法理解“包牺立周天历度”与“伏羲执矩”，不晓此“矩”为何物。此处已见两种“纹点三角形”，数值差异很大，这就是说“数形交合”的关系相当复杂，现代的“数论”、“几何学”是我们探究这种“数形交合”的一种非常重要的参照，但核心还是要尊重历史的真实。

这个“九九八十一”的乘法，一定晚于墨子（公元前476或480年—公元前390或420年），理由至少有三条，一是墨子关于《干攴数理表》的公理化，就是把《干攴表》的代数转换为纯粹数字，没有这种数字公理化，则无大九九或小九九，二是运算《干攴数理表》的关键在黄金分割率，墨子非常清楚，《墨经》中即是使用黄金分割率来证明宇宙统一性。三是墨子的数理逻辑的证明，对待“函数”采用“隐数”方式，也就是说仅用其实、其数而不见其字。这样一来，“函数”表达式离开特定语境则看不懂。

有力证据是清华楚简《算表》（约公元前305年），实际上是《干攴数理表》第一格“甲子”至第九格“壬申”切分为两个系列“1—9”，再将其中的一个“1—9”前移至“十数位”，则变成“10—90”，最终反溯（倒版）运算乘法的大九九与小九九，尤其是还保留运算《干攴数理表》的黄金分割率，即是使用代数“”、“钵”。【6】楚简《算表》中“”字的右形为“勻”，表示用“二”分数“十二”；左形“”从“”、“”；表示用“五（）”分数“十（）”，十二与十之和为干支数理二十二，可以黄金分割率。“”之前还有一个代数“钵”字。张天弓《初论殷商甲骨文中的“进十位数制”——考释“术”“殳”“攴”“恖”、〈干支表》与楚简〈算表数理表〉、罗素〈数理哲学导论数理表〉、〈书写笔顺图〉之关系》，载于《书法研究》2021年第2期）今研究者认为“”的意思是“1／2”，“钵”的意思是“1／4”，这种解释虽然不知“”字表示黄金分割率，但认为“”（1／2）”、“钵（1／4）”具有分数的数值仍有合理性。

楚简《算表》为什么使用这两个代数“（1／2）”、“钵（1／4）”（图9）？想运算什么“数”？《周髀算经》所谓“九九八十一”提示我们，“商高”此言是依托，出于楚简《算表》之后。楚简《算表》就是乘法大九九与小九九，其根源是殷墟《干攴数理表》的一种倒版，最终还是要运算天文学视运动。笔者制作楚简《算表数理表》（图10），可知《二十八星宿》图示最早见于《曾侯乙墓漆箱二十八星宿图》，还有“衣箱”側面的《后羿逐日图》、《后羿弋射图》相对应，所以这种《二十八星宿》的算法是28＝24＋4，意思是运算四方、四方风，而每一方则是24时辰牵连二十四节气。

图9

图10

回到楚简《算表数理表》，“（1／2）”是二个字形，分别在左下角“一”数的下边与左边，因为《干攴数理表》第一格“甲子”至第九格“壬申”的算法是“九九八十一”，所以“（1／2）”字实际上在《干攴数理表》第一个“甲子”之前。因为“九九八十一”的算法，这个元君庙墓地陶盆的纹点三角形第一行10个等边三角形，应该在《干攴数理表》之前。“（1／2）”字运算对象是这10个等边三角形，数值是5（5个等边三角形）。最左下角的代数“钵（（1／4）”应该是继续运算“（1／2）”，但运算对象是什么？应该是运算“甲子·1:1”之前的“上甲（上甲徽）”，即商代先王王亥、王恒兄弟之后继。这就是屈原《天问》、《离骚》、《九歌》等篇提出的数学天文学的诸多问题【7】张天弓《楚金文、楚简“集”字考释——简论集合论函数运算黄金分割率》，载于《书法报》2021年8月18日）

战国时期“甲（十）”字数理“十”，其算法“钵（1／4）”的数值为0.25。所以，运算代数“（1／2）”字、“钵（1／4）”字的数值为5.25度，加上周天360度基数，即为周天365.25度。请注意，这种算法必须的前提是“九九八十一”，不是用其乘法，原本81个纹点的等边三角形是用加法，而且“九九”之数还要牵连“大一（第一行10）”。这可以说明西汉的《周髀算经》的天文学视运动的坐标与算法，与东汉数学天文学的周天365.25度相同。

这个周天365.25度是天文学史上的一个悬案，西源说与中源说都有证据与理由，难以定夺。陕西仰韶文化的陶器上的两种“纹点三角形”，与楚简《算表数理表》对接，与《周髀算经》牵连，可以解答这个历史悬案，这是独一无二的证明。否则，我们很难查清周天365.25度的来源与算法。

陕西仰韶文化这两种“纹点三角形”，是数学天文学视运动的三角形的样板，可与河南郑州商城遗址的《杜岭方鼎》的数学天文学视运动的四方形的范式相媲美，对于我们认识古希腊欧几里得《几何原本》之前的几何学提供了重要的考古出土的原始资料。

 2022年1月26日于武昌