《殷墟甲骨文〈干攴数理表〉与“黄金分割率”考释（二）——“数学天文学”的概念（三）》

三

现代数学的黄金分割率1：0.618，是平面几何学的定律，进入中国公众的视野，应是二十世纪六、七十年代数学家华罗庚大力推广优选法0.618，它与现实的生产与科学实验问题紧密相结合，节省人力物力财力，“缩短时间加速进程”，成效显著，可谓数学实用的一个典范。1971年出版了《优选法评话及其补充》一书，解说明确、通俗、形象、实用，数学公式已经中国化了，例如，用“横”、“竖”的书写笔法来讲解算法，这种表述可以与中国古代数学天文学的算法进行对接、交换，这可以作为一个专题来探讨，意义非同寻常。

后来，人们接触到的黄金分割率，多与艺术与审美相关。启功先生将黄金分割率用于书法审美，分析今体楷书的字形结构与横、竖的笔画，具有开创性的意义。总的看来，这个数学定律的应用是非常广泛的。

图1

图2

《优选法评话及其补充》封面上印有黄金分割比例的公式（图3），是指设定区域（0,1）的一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。其公式是：W=(-1+√5)/2=0.618。【1】华罗庚《优选法评话及其补充》，国防工业出版社，1971年版，第27页）

图3

图4

黄金分割比例图示中的这两个数值0.618与1.618，可称作互为倒数。算法是：

1/0.618=1.618122977346278

(1-0.618)/0.618=0.618122977346278

0.618与1.618均为近似值，又称作“中外比”，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，故而被称为黄金分割率，通常用希腊字母Ф表示这个数值。

现代数学的这个“倒数(reciprocal/multiplicative inverse)”概念是完全抽象的，中国古法的“倒数”是指“倒版”，意思为凡是字形、“数形交合”均要上“书版”，“书版”则有“倒版”。甲骨上契刻着简册形制，也是“倒版”，“倒版”用“倒数”，即是特定运算对象的乘以0.9，这涉及运算“分数位”，“分数位”是现代数学所没有的。

“书版”可以理解，但为什么要运算“书版”呢？这是原始先民的智慧。数学天文学的视运动的运算是极简的平面几何学，“化圆为方”要见方形之“书版”，核心是为了确切的运算年、月、日、时的确切数值，可以验证，也可以世代传续。简单的说，二分之“分数”是干支集合论的首务，所以单列一个“分数位”。

怎样证明倒版用倒数？殷墟“今”（）”（《合集》6834，宾组）字，从三合函数、从一，表示当是时。《说文》释“今”：“是時也。从亼从绁；绁，古文及。”段注：“今者對古之称。”【2】〔清〕段玉裁《说文解字注》，上海古籍出版社，1981年影经韵楼藏版，第223页）这“”字的数理逻辑是，运算“三合（亼）”函数与“一”，就是“二分”字形，或者说“分数”；“一”指是时也，而“三合（亼）”为古，即是“分数位”，从“今”至“古”，都要见书版，反溯“古”就是倒版，而且殷墟“古”字本来就可以运算黄金分割率。“今”字的算法是一种数理逻辑的制度设计，也是根源有自。可以推想，从殷商甲骨文反溯到秭归新石器时代的数学天文学，跨越3500年，没有这种数理逻辑的这种制度设计，这门学科知识的形成与发展是根本无法想象的。也就是说：殷墟“今”字的制度设计，也就是“古”法，已有3000多年，再反溯千年万年，还是“今”与“古”；这种制度设计是众所周知的一种算法，简便易行。东汉伏羲、女娲交尾的石刻造像的手持“规”形，其实也是“今”字中的“三合（亼）函数”。

这种视运动的开始只有这一种算法，就是将太阳运行、月亮运行、地球运行的复杂关系作最优化的组合处理。请注意，这是将三个球体变成平面几何学的圆形、方形，这种“数形交合”在哪里交合？只有在字形中与字形所在的“书版”上交合，这就在“三合（亼）”之中加上四方形的“一维”，成为视运动的“四正四维”。同时也是天地人“三维”再加书契、书版“一维”，这进入视运动的宇宙论。  【3】钱宝琛主编《中国数学史》认为：“古希腊，在很早的时候就采用球面三角法来解决天文学计算方面的问题。其后，印度和阿拉伯国家的数学家对球面三角法也作出了很大的贡献。隋唐以后，印度天文学和数学开始传来我国。《开元占经》（公元718年）所载《九执历》中就曾介绍过印度的正弦表；但是并没有引起中国数学家在的注意。宋初大科学家沈括，是我国第一个对弧、弦、矢之间关系加以考虑的数学家。他给出了中国数学史上第一个由弦和矢的长度来求弧长的近公式。这就是沈括的“会圆术”。科学出版社，1964年版，第209—210页。按：这种古希腊“球面三角法”与中国远古的数学天文学的数形交合的算法则完全不同。中国《开元算经》所载印度《九执历》的计数法，全是用小方格，而且是长方形，从一到九，再是一个“点”，说明文字有“其字皆一举囗而成”（第113页）。印度《九执历》这种囗形表达式，应该是根源于殷商甲骨文《干攴数理表》中的60个小方格，当然这是代数，但是在秭归遗址《陶顶盘》中，小方格囗则是数字）所以，简册、楮木书版、甲骨版、玉版、石板、陶版皆涉及倒版运算；而记载着天文学的陶版、石版距今约有7000年。例如，秭归遗址的《陶顶盘》上有8个“田”字，每一个“田”字均为8个小方格组成。从是时起，视运动的运算就有了一项减去“四”或加上“四”的算法，只是针对四方形的“书版”。有了四方的算法，就相当于有了“横”与“竖”的算法，华罗庚、启功分析“横”、“竖”中的黄金分割率，绝非偶然。

为什么优选法认为0.618：0.382为双因素？优选法就是优化，降维是优化的妙法；降维就是合并而化简。比如说，“人”之数理是十月怀孕而生，“身”为十，出生以后有“體”，“體”为十二，“身体”数理二十二，这与“目”的数理相同，与干攴集合论的数理也是相同的，这些合并就是化简降维，即是“可公度性”问题，也关涉到天文学的宇宙论。

墨子的名言“书于竹帛”，本意就是讲这种倒版运算，从简帛倒版至金石，从金石倒版至陶器的盘盂，均有铭文纪功。【4】孙诒让《墨子闲诂·兼爱下》：“吾非与之并世同时，亲闻其声，见其色也；以其所书于竹帛，镂于金石、琢于盘盂，传遗后世子孙者知之。《秦誓》曰：文王若日若月，乍照光于四方、于西土”。孙诒让注：此引《秦誓》篇“疑后人所改”。商务印书馆，诸子集成本，1956年版，第75页。按：说明一下，这种黄金分割率的运算四方，是一种数理逻辑的形式化，非常重要，不只是一种四方形或直角三角形，也深刻影响到字形、书契的审美内部，如“人格”、“风格”、“气格”、“品格”、“格调”、“心灵”、“精神”、“气息”等。我们常说今体的汉字为“方块字”，其实就是在说“小方格”；格物致知之“格”，也是指这个“小方格”。不知“格”，就不知中华文化，这里暂不探讨）所以，“数形交合”的小方格、方形，成为算法与数值的核心。其他的星象观测也很重要，也要与日月地球的运转相协调。

现代数学优选法的黄金分割率图示，是数值1.618的，预设区间是“0,1”的线段，算法的起点实际上是运算（图2），被称为“瞎子爬山法”，原本是测算天顶法，其“东”的指向，实际上就是指向春分点。【5】《优选法评话及其补充》第21—22页）其本图（图3）就是我们熟知的黄金分割比例形象图示，运算连续切分5次方形而形成一个长方形，是指序数第六块的最为细小长方形，在螺旋线的正中心，数值1.618是先前多了一个运算倒数，即是1/0.618=1.618。这种抽象化的黄金分割率，理论解释众多，但没有天文学视运动运算的意义。

提示一下，现代数学采用希腊文字母“Φ”作为它的符号，其实中国商周时期“中”字，可以运算黄金分割率，应该是“Φ”的原型。【6】〔前苏〕B.A.伊斯特林《文字的产生和发展》（左少兴译）有《拉丁文字母的起源和发展》图现示源头为《西希腊字母表》（北京大学出版社，1987年版，第270页），其中“Φ”为第23个字母，第6个字母为“f”，中国古代新石器时代的“干攴集合论”的函数，一个是三合，一个也是“六”；《西希腊字母表》第24个字母为“X”，现代西方数学的函数表达式为y=f(x)，元素x称为自变元，元素y称为因变元。中国古代“干攴集合论”函数可以运算出初始的黄金分割率0.618。而“干攴的数理有“六”与“五（X）”的交合，这种相似性就是探究“可公度性”的重要线索）而中国殷商的“中”字，主要是指视运动的推步法，螺旋线正中心表示地球北半球的亚洲区域之中心，最为关键的是它是移动的。“中”字是三种形体，除了表示中心之外，还有东向行或西向行之“中”，因为东南西北四方的每一方都有24时辰与360度。这是中国古代数学天文学的一个特性，可以参照郑州商城遗址的《杜岭方鼎》侧面腹部乳钉纹饰表达的天文学数值（图4），在360度的四方的左右两边，还有4个24乳钉的方形。研究者经常解释 “中”字为“中国”之“中”，盖因不知殷人“中”字的推步法的造字之意。“中”字确实与京畿、中心地区相关，但与“国”的意义之视角则有差异。

殷墟“旬”字是视运动推步法的路线图（图2），算法是连续五次除以2，是切分小方格的对角线，与现代数学的算法可以通约，但曲线的意义则不同：一是分数对象为天文学的干攴集合论三合（亼）函数，二是牵连周天360度基数，三是运算360度基数的外插法与内插法。

“旬”字二种形体所指示的春分点太阳年、冬至点回归年（图2），0.618在其开口处切线顶端的短线，也有一个极小的直式长方形，在螺旋线中心处，因为字形的限制而无法直接表示，直接表示者是书版之“丁”（图2，《殷墟文字甲编》630）。

中国天文学的太阳年、回归年，为什么与西方天文学不同？因为天体视运动中，有周日视运动的24时辰参入运算。这种坐标体系就相当于现代钟表有固定的表盘与移动的表针。数学天文学的算法，就是把这表盘的刻度、数值、算法与表针的转动确定下来，历法则是因地制宜的对时间，既是验证又是应用。【7】〔英〕李约瑟《文明的滴定》认为，中国人“成功的制造出了最古老的机械钟，其中包括发明一种擒纵机构，即用机械方法减慢一组轮子的转速，以便与人类的基本时钟周日视运动保持同步”。（第11页）按：此处同时认为“中国数学的思想和做法永远是代数式，而不是几何式的”，这与高度评价中国古代的手工文明是不相一致的，石器、陶器、玉器、骨器、竹木器、青铜器等，没有几何学知识是无法完成的，这种几何学是早于欧几里得《几何原本》的，当然这种百工的专门知识很少能见到原初的资料。其实，圭表本身就是测算周日视运动的时钟。这需要重新考释秭归遗址中的近千个“陶支座”的平面几何学。

周日视运动的24时辰，是人类生物钟概念，所以至今被全世界认可，这是科学的“可公度性”的典范。西方天文学从古希腊起就另外假设一个天球，例如柏拉图宇宙论中的天球模式【8】〔美〕戴维·林德伯格《西方科学的起源》张卜天译，商务印书馆，2019年版，第58—59页）成为地球中心的代表，再设定一种恒星年，比照运算回归年或太阳年，这与中国古代的日月地球的运转完全是两码事。

西方天文学的根基中既没有天地人的三个大“一”形成平面几何学的“三合函数”，更没有四方形的书版“丁”参入运算的四正四维；天文学中的“化圆为方”不可思议，更不可思议的是，运算使用数形交合的小方格，这是初始的组合数学【9】陈美东《中国科学技术史·天文学卷》在“先秦时期的数学知识”一章中专门提到“不乏组合数学的思想”，重点是依据是《周易》八卦。科学出版社，2003年版，第46—47页。按：数学天文学的起源与易八卦相关，这在秭归遗址的《陶顶盘》中是八个方格之“田”字，拟将另文探讨）既有离散性，又有连续性。

图4

从《杜岭方鼎》（二号）的数学天文学的范式（图4）可知，四个“24乳钉”在360度（4个90度）的大四方形之外，数理“24”中有“二十二”为干支的数理，余“二”为表示“四方”，所以二十四节气的算法中就存在“二”度的伸缩弹性。古法几何学中“圆”本为“圜”，其实是两个圆形，一是均匀运转的360度，一是非均匀运转内插法与外插法，这是无形的“圆”，即函数运算的“圆”。

《周髀算经》赵爽（约182---约250年）注认为：“天体方则度以正，形圆则审难实。盖方者有常，圆者多变，故当制法理之。”【10】陈遵妫《中国天文学史》，上海人民出版社，2006年版，第52页）这是关于数学天文学的方圆关系的最为精辟见解，核心在“圆者多变”而“方者有常”，这等同于说，天文学中的圆周360度是用正方360度之“法定的”,这个方圆问题实质是“数形交合”,是欧几里得《几何原本》之前的几何学，亦即是天文学视运动的几何学，这是值得认真探究的问题，另文探讨。其实道理非常简单，田里的庄稼如果没有24时辰的连续生长，二十四节气也没用。中国的天文学，必须“化圆为方”。

四

殷商《干攴数理表》可以运算两种黄金分割率，一隐一显；“显”是运算第60格“癸亥·10:12”，数理二十二，“隐”是运算殷墟《干攴数理表》“甲”字之前的“上甲”，数理十一，是天干十与地攴十二交合运转的中介，实际上就是运算《干攴数理表》中的“勾股定理”。

图5

殷商表示人名“上甲”的字形，有三种形体“”（《殷墟文字甲编》632）、“”（《合集》27079，何组）、“”《合集》22682，出组）【11】刘钊《新甲骨文编》，福建人民出版社，2014年版，第655页）（图5）王国维考释“”为人名“上甲”与“田”字的区别，要义在考订殷商先王“上甲徽”，与父王亥、叔王恒一起成为“先王三世”，这是商史研究中的一个硬核问题，与《干攴表》的总体结构相关。“”、“”二形则是“上甲”的佐证，而“上甲”是牵连王恒与《干攴表》的关键。【12】王国维《观堂集林》中《殷卜辞所见先公先王考》、《殷卜辞所见先公先王续考》，河北教育出版社，2003年版，第259—286页）。简单的说，没有“王恒”，殷商与早商、先商是断裂的。

笔者补证，王亥、王恒、上甲徽的世系关系，与《干攴表》的序列直接相关。河南郑州商城遗址的《杜岭方鼎》是数学天文学的范式，这就是说商代在殷人之前就有完备的“干攴”数理模式，王恒之“恒”字两种形体与“月相”有关，其数学天文学的意义则凸显出来了。

“恒”位置在在《干攴表》之前，表示干攴集合论的“函数”，函数表达式是“恒”字在“弓弦”之中：【13】张光直《中国青铜时代》对于殷墟干支与商代王位继承制度、王室亲属婚姻制度的关系，进行了深入的研究，特别关注“王亥”“卫恒”的史料，专门提到“卜辞里的恒字有的写在一个大弓里面。不知卫恒和殷人使用的弓有没有传说上的关系？与传说中的羿有没有关系？这些都是我很想知道而一直没有答案的。除了文化发明繁荣功绩以外，王亥、王亥兄弟在商人的王制史上是不是有关键性的转捩点的意义？这也是我很想知道的”。三联书店，1983年版，第195页。按：笔者关于《干攴表》作为数学天文学的范式，及其与王亥、王恒、上甲徽的关系的考证，大致可以解答张光直先生的疑问，谨以告慰先贤之灵）“亥”字在《干攴表》之中，为第60格的最后一字：“上甲徽”即为“上甲”，牵连“恒”与《干攴表》第一字“甲（十）”与函数“恒”的关系，为的是运算勾股定理。【14】〔清〕江永《推步法解》：“周天三百六十，此周天整度也。古法用日度三百六十五度有奇，奇零度不便分析”，天干十地支十二相配而为六十，六其六十则为三百六十矣，“要在体数恒为三百六十”。丛书集成初编本，北京：商务印书馆据守山阁丛书本，1985年版，第1—2页。按：这是指三百六十度为基数。西汉易纬《乾鑿度》：孔子曰：岁三百六十日而天气周，八卦用事各四十五日，方备岁焉。今学者认为“孔子曰”为伪托，但“岁三百六十日”即是三百六十度，同时为“天气”的一周岁，这涉及数学天文学的坐标的核心数值。数学天文学的算法是360÷6＝60，即是6个《干攴表》。可见，江永《推步法解》此说是讲中国的古法。

“上甲（）”表示在《干攴表》之前，即“”、“”之上部的“一”、“上”，又藏在《干攴表》之中，即在首字“甲”字之先，所以为“上甲”。殷墟“甲（）”字（《殷墟文字甲编》870）与《干攴表》第一字“甲”数理相同。注家有的释为鎧札、甲札，孙诒让《契文举例》认为：“甲”字皆作“十”，一之四。【15】李圃主编《古文字詁林》第十册，上海教育出版社，2003年版，第932页。这意思是“甲（十）”字为表使数，从“一”之“四”，即是指天干次序的甲、乙、丙、丁。《说文》释“十”：“数之具也，一为東西，| 为南北，则四方中央备矣。”【16】《说文解字注》第88页。这是讲天文学的坐标。孙说是借用《说文》释“十”形的天文意义，来解释“甲（十）”字，而“丁”是指书版“丁”，这种解释是合理的。

“上甲（）”表示“甲（十）”数理十一，在囗之内又在囗外，囗为360度，“甲（十）”即是东西方向的横画“一”、南北方向的直画“丨（十）”。十一运算黄金分割比例的数值即是1°，囗即是360°，这是“上甲（）”的独特性。

所以，“上甲（）”是运算数理十一：

A．11÷2÷2÷2÷2＝0.6875

B．0.6875×0.9＝0.61875

C．0.61875－0.00075＝0.618

这是运算“上甲”得出的数值，“上甲”在《干攴表》首字“甲”与《干攴表》之前首字“恒”之间。“甲”字之“十”形，数理十一，与“上甲”算法基本相同。现在从《干攴表》的第一字“甲”继续运算：

A．1÷0.618＝1.618

B.1.618÷0.618＝2.618

C．2.618＋0.382＝3

这三步运算极为重要，“三”既是牵连函数三合，同时又是进入《干攴数理表》的序数三“丙寅·3:3”，可以运算序数三“丙寅·3:3”、序数四“丁卯·4:4”、序数五“戊辰·5:5”这三项构成的勾股定律。

西方数学的勾股定理，又被称为毕达哥拉斯定律（Pythagorean Theorem），属于几何学的一个基本定理，是指一个直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方。毕达哥拉斯（ 约公元前580年—约公元前490年）的生卒，则成为勾股定理诞生的时间节点。中国古代《周髀算经》称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一较长的直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。【17】程贞一、闻人军《周稗算经译注》“前言”对于国内外的研究进展与重要成果作了简要的介绍。上海古籍出版社，2012年版，第1—15页）但它的原型与算法在殷商甲骨文。不同的是，中国勾、股、弦皆有数值，即是勾9，股14，弦25，同时是长方形（），实为两个勾股形，更为重要的是，它是天文学的化圆为方，而直角三角形之“度”是它的切分对角线，这就确定了天文运算是用小方格的模式，或者说小方格的运转。它是考古出土的原型，还早于毕达哥拉斯800年。

勾股定理之斜边“弦”，何以得名？这与殷墟中“恒”字在“弦”之中表示函数有关，“恒”字二形表示天文之月相。殷人的造字之意，逻辑非常周密。

   图6                图7

殷商“恒”字的三种形体（图6），“”（《铁云藏龟》199.3）、（《集合》14768，宾组）、 “”（《殷墟书契前编》7.11.2），前二形表示月亮在天地间恒久的运行，后形是弓弦之中有“”，表示反溯运算到渔猎时代，即是运算《干攴数理表》的干攴集合论之函数。《说文》释“恒”：常也。从心从舟，在二之间上下。心以舟施，恆也。古文“恆”，从月。《诗》曰，如月之恆。段注：常当作长。古长久字只作长。“心以舟施”，谓往復遙远、而心以舟运旋，历久不变。“宙”下曰，舟車所极復也”。【18】《说文解字注》，第681页。这已是汉代的理念，涉及舟车的交通往复，区域广度在地球之南北极，也有反溯古法的意思，即是指远古的视运动的推步法，舟车代步也算是推步法中的一种辅助方式。

殷墟“函”字的两种形体（《合集》37545，黄组）、（《合集》28068，无名组）（图7），均表示箭矢在箭袋中，这是函数的一种表达式，意思是拿出箭矢可以上弦放射而射取猎物，于物则为减数，于己则为加数，可以进行初始的加减乘除四则运算，涉及分数位、个数位、十数位、万数位的运算。

还有“射中一日”之字“”（《合集》13934正，宾组），与后羿射日神话相关，这是运算十日，即十个太阳，相当于天干十，而这个带一点的“日”形正在拉弦射箭之处，或者说在“弦线”的中部，这不能说与“勾、股、弦”的算法毫无关系；“弦”中有函数“恒”，弦线上有射中一日之形，日中还有小数点，“弦”还是勾股定理之“弦”，是勾平方、股平方之合，恐怕不能说这是一种巧合。

殷墟“辰”（，《合集》25747，出组）字，象人之二手持圭表测算天象之形。【19】《说文解字注》释“辰”：民农时间也。物皆生，从乙、匕，象芒达；厂，声也。辰，房星，天时也。从二，二，古文上字。今学人解释诸多，董其昌《矢彝考释》认为“从二”为人形二手之省形，三合之形为星宿三星，近似本义。李圃主编《古文字詁林》第十册，上海教育出版社，2004年版，第1124页）象形字的造字之意，来源可能是多种，这三合之形，可能是茅屋，也可能是房星等，也可能是用圭表，这些意义可以关联，本来“形”就存在一定的多义性。。

《周髀》原文“既方其外，半之一矩”这一句非常关键，“既方其外”是说圆形之外的方形：“半之一矩”是说切分长方形的对角线，而“矩”则是使用战国中后期的术语“规矩”之“矩”。但是，在殷商《干攴数理表》、中的序数四“卯丁”之“丁”皆为正四边形的小方格“”，共计六个小方格“”，合起来即为长方形。“半之一矩”是指切法对角线，成为两个直角三角形的“度”，即是黄金分割率。这表示视运动之运算360基数可以有两个内插法，这即是“旬”字。

图8

    赵爽（约公元182年－250年）注：“句股之法：先知二数，然后推一见句股，然后求弦。先各自乘成其实，实成势化，外乃变通。故曰：既方其外，或并句股之实，以求弦，实之中乃求句股之分。并实不正等，更相取与，互有所得，故曰半其一矩。其术：句股各自乘三三如九，四四一十六，并为弦，自乘之实二十五，减句于弦为股之实一十六，减股于弦，为句之实九。”【20】陈遵嬀《中国天文学》，上海人民出版社，2016年版，第80页）赵注的算法是：“丙寅·3:3”自乘为9，“丁卯·4:4”自乘为16，“戊辰·5:5”自乘为25，合计9＋16＝25，即是a² + b² = c²。（图8）

可见，赵爽此说非常准确，核心是算法：“句股之法，先知二数，然后推一见句股，然后求弦”。我们根本不会想到这个“数”概念，殷商有表示“数”概念本身的字形“殳”字、“攴”字，汉代隶书中皆见于隶定为“数”字。【21】钱宝琛《中国数学史》关于汉代《九章算术》的研究，有一个观点是“中国数学家在方程章里，提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。这在数学史上是一个无比伟大的成就。”科学出版社，1964年版，第55页。按：这种看法是正确的，不过这是指中国古代数学天文学分化为天文学与数学两个独立学科以后的数学（算学）。中国的古法没有“负数”概念，而是单列“分数位”这个数位）二形数理二十二，可以运算出黄金分割比例，这就是先知二数0.618，0.382。

顺便说一下，殷商没有“股”字，“殳”字为“股”的本形。然后“推一见勾股（书版之丁）”，即是0.618＋0.382＝1；然后“求弦”，即是求直角三角形弦线上的一个黄金分割点，这是唯一，勾股定理与黄金分割率合体，确实是“唯一”。天文学中的算法，是墨子的“一中同长”与“等高法”，拟另文探讨。

图9                      图10

李俨《中国算学史》认为，赵爽《句股方圆图注》是以《弦图》证明勾股定理，“施以朱、青、黄诸色”（图9），【22】李俨《中国算学史》，商务印书馆，1936年版，第16页）这是合理的。从南宋本的《弦图》（图10）看，赵爽注释所言，大面为正四方形，“中黄”为中心的小方格“黄实一”；“朱实六”指直角三角形，“弦实二十五”指四个书版之“丁”。这些数字比较混乱、图形也不准确，钱宝琛《中国数学史》认为，这个图与解释文字均“与赵爽原义不能符合”，【23】《中国数学史》第57页）这是正确的。不过，《弦图》虽然不够标准，但在一定程度上反映出汉人关于勾股定理的思路与算法。

笔者以为，对照殷墟《干攴数理表》的数理，“戊辰”应为二五，南宋本的图示是朱实十二格，这不合赵爽的本意；李俨解释的“弦图”为5个方形具有合理的性，“中黄”为中心的小方格“黄实一”，四个长方形应该是殷墟之“丁”字之变异，可以将4个朱实的长宽比值调整到0.618:0.382；另用一个大面，即是大方形，也属于“黄”，所以大面的四方形减去四朱实的长方形，余下的小方格即为“黄实一”，这表明《干攴表》的运算60序数全是运算小方格。当然，这种勾股定理的算法，是与天文学相分离的一种表现。

总之，“上甲（）”算法的核心，数为360°与1°，1°中有24时辰与黄金分割比例0.618:0.382，形为“（甲）十”，是天文学视运动的坐标构架，划分东西南北、春夏秋冬，这“（甲）十”形与大方形360度是互证的。所以，“上甲（）”还有另一形“上甲（）”，此形为圆周，与“甲（十）”字的一横一直相合。黄金分割率是数形交合为书版丁，一横一直则为天文学视运动的坐标构架，确立东西南北。

“上甲（）”为圆周，与“上甲（）”之方形互证，圆周360度的中间也是一横一直之“甲（十）”。西周晚期《兮甲盘》铭文“甲”（《集成》10174）字，已成为圆形〇与数“十”，直接表示十日，不同于殷商“甲（十）”字的数十一，但可以运算《干支表》，这说明天文学视运动中的数形交合的非常特殊的方圆关系。

王羲之真草二体《小学篇》是南朝梁代集字《千字文》的原本。【24】张天弓《王羲之〈小学篇〉与〈千字文〉考》，载于《书法》2020年第2期）《千字文》开篇是“天地玄黄”四字，是讲蒙学的天文学知识，这个“玄黄”是与《周髀》及其赵爽《句股方圆图注》是直接相关的，也是讲黄金分割率，用以字形、笔势则为“直（竖）”与“横”，这是讲天文地理、古今传续，与真草二体对应。《说文》释“體”为“总十二属也”，真草二体之数理二十四，正是24时辰牵连二十四节气。王羲之真草《小学篇》，开篇就讲“天地玄黄”，即是讲黄金分割率。（待续）

2022年1月22日于武昌