《殷墟甲骨文《干攴数理表》与“黄金分割率”考释（一）——“数学天文学”的概念（三）》

张天弓

一

殷商甲骨文（约公元前1300年—约公元前1000年）有“天干”、“地攴”、“干攴”等概念，还有《干攴表》，这是殷商文字字形中的相当成熟且自成体系的数学天文学。长江三峡的秭归新石器时代遗址的数学天文学（距今约7000年）是其源头，它一降生就有比较完整的天体视运动的坐标体系、核心算法、基本数值，而黄金分割率则是运算周年360度与周日24度及其内插法与外插法的关键。

图1

笔者已对殷商甲骨文中诸多字形的黄金分割率进行了初步考释，如“日”字、“月”字、“明”字、“文”字、“田”、“数”字、“丁”字、“度”字、“书”字、“笔”字、“版”字、“丁”字、“目”字、“正”字、“中”字、“士”字、“史”字、“事”字、“臣”字等，都与数学、天文学相关，【1】张天弓《初论殷商甲骨文中的“进十数位制”——考释“术”、“殳”、“攴”、“悤”<干支表>与楚简<算表数理表>、罗素<数理哲学导论数理表>与<书写笔顺图>之关系》，载于《书法研究》2021年第2期，第54—74页；张天弓《殷商甲骨文“士”运算黄金分割率——殷商甲骨文中的数理逻辑初探》，载于《书画艺术》2021年第1期，第30—37页）又依据《甲骨文合集》（37986）收录的一件完整的牛胛骨上契刻的简册形制（直行下行，横列左行）的《干攴表》（图1）【2】刘翔等编著《商周古文字读本》，语文出版社，1989年版，第6页），制作了一个《干攴数理表》（图2），采用简体楷书字形、配以印度—阿拉伯数字符号作翻译性的表述，便于识读与运算，字理与数理仍然依据原字。

殷商甲骨文《〈干攴表〉数理表》

图2

这个《干攴数理表》为直行六行，横列十行，组合为一个直式长方形，计有60个小方格；所有方形的四个內角之和均为360度，包括小方格。这就是说，运算周天360度基数是常例，这一点是中国古代天文学最为普通的常识。

第六十个小方格为“癸亥·10:12”，黄金分割率的极简算法是二分法的“分数”，运算干攴集合论函数：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.00075＝0.618

这种天文学视运动的黄金分割率0.618，与现代抽象数学的算法不同、性质不同，它是什么意思？有什么功用？从秭归遗址的数学天文学的源头看，这个黄金分割率才能看得比较清楚。研究对象是太阳运行、月球运行、地球运行之关系，研究方式是视运动的推步法，是用小方格进行动态运算，运算对象是干攴集合论函数，与天体的运转相对应，表达式是“数形交合”，属于天文学视运动的平面几何学。

这里先说明几点要义；

（一）这个0.618，首先是指“旬”字。殷商“旬”字有的两种形体，是指天文学视运动的推步法路线图：一种形体“”(《合集》16790，宾组）是表示运算春分点太阳年；一种形体“”（《合集》6834，宾组）是表示运算冬至点回归年。其上部斜画交叉点为0,交叉点前的短线为0.618（或0.61875），是指十日一“旬”的平均一天之白天的长度，相当于平均一日的昼夜长度之比值为1＝0.618:0.382。

数学家华罗庚的“优选法”称为0.618为“平面几何学上黄金分割法”，“这是一个求函数最大值或最小值的问题”，还用现代数学的来表示它的一种算法，运算无理数，【3】华罗庚《优选法评话及其补充》，国防科技出版社，1971年版，第28页、第26页）这是准确而合理的，可与华夏先民的天文学中的古法进行交换运算。天地运行的昼长夜短的之黄金分割比例，作为函数的最大值与最小值是理所当然的事情。

（二）“旬”字涉及春分点、冬至点，运算一“旬”即是勾连36个旬，即周天360度，四方形、小方格都涉及四个內角之和的360度。

360度即是6个《干攴表》，或36个“旬（10日）”，或12个“月（3个旬）”，或东南西北四方、春夏秋冬四季，即二十四节气；“旬”还牵连周日视运动24时辰。也就是说，360度即是36个旬，把一天24小时与一年二十四节气捆在一起，同时又是以360度为基数的内插、外插的算法，这也就是“旬”字作为推步法路线图的核心作用。

（三）运算周年360度基数的外插法与内插法。外插法是指360度以外的5点几度；内插法涉及运算朔望月与闰月。运算周日24度基数与周年360基数的交接，需要运算数学的核心“数位制”，一是运算分数位、个数位这两个数位的极数九满一而进十数位，二是“十进制”与“六十进制”的交换运算。这些数位的问题非常重要，譬如说，天文学运算必然会涉及分数、或小数，所以单列一个数位“分数位”。现代数学没有这个“分数位”概念，计算涉及到比0小的数，则称作真分数，还有假分数等。这些问题需要专门探讨。

（四）黄金分割率是指“度”概念本身。殷墟“度”字的一种形体“ ”（《战后宁沪新获甲骨集》1.234），从右手、从直角三角形；这个直角三角形的直角长边与直角短边，经过切割下来测算，比值为0.618:0.382，与“旬”字表示的数值形同，意义一样。

下文将会讨论，这“度（ ）”字的直角三角形，是《干攴数理表》序数第三方格“丙寅·3:3”、第四方格“丁卯·4:4”、第五方格“戊辰·5:5”构成的勾股定理，表达式是书版“丁（）”（《殷墟文字甲编》630），即是一个长方形，也就是《干攴数理表》中的六个“丁”字之形，经过运算合并为长宽之比值为0.618:0.382，切分这个长方形的对角线即成为这个直角三角形的“度（ ）”。

殷人天文学中的勾股定理，同时又是黄金分割率，这是数学史上最早的独一无二的勾股定理。说明一下，在现代数学的勾股定理的定义中，中国古代的黄金分割率实际上是勾股定理的余弦上一个黄金分割点。

这个“度”概念本身，表示测量运算的方法，又表示运算数形交合的准则，自己还有数值、数形，是运算天文学视运动的核心概念。《说文》释“度”：“法制也。”段注：“《论语》曰：谨权量，审法度。《中庸》曰：非天子不制度。”【4】段玉裁《说文解字注》，上海古籍出版社1988年影经韵楼藏版，第116页。这就是说，“度”是天文历法的核心算法，才可以定性为“法制”、天子的“制度”。

图3

从平面几何学之形看，黄金分割率首先是：（1）运算干支集合论函数三合与函数六，都有见于数形交合；（2）继续运算勾股定理，有正长方形之书版“丁”，与切分对角线的直角三角形之“度”。（4）表示天文学视运动的算法，即推步法的“旬”字，这是一种及其复杂的几何模型，具有抛物线、等高线的特征（图3）【5】华罗庚《优选法评话及其补充》第31—33页。按：这个图示是表示黄金分割率涉及的曲线函数、抛物线函数。按照优选法“双变数和等高线”的解释，这三个原形应该是与干十、攴十二、干攴二十二相关，并且在方形中运算。这实际上是《墨经》中的算法。

“旬”字的内涵非常丰富，算法极简而解说困难。通俗的说，《干攴数理表》中经过运算的6个小方格组合成一个直式长方形，这是黄金分割比例的载体；而切分其对角线，则为直角三角形之“度”。这个直式长方形上面书契着这推步法路线图，二种字形表示的路线图的指向，分别是春分点与冬至点，0.618表示路线开口处的短线的长度，可运算周年视运动的外插法。这个直式长方形作为序数六，在“旬”字曲线中心端点处，可以运算朔望月、闰月与36个“旬”（360度）的关系，涉及内插法与外插法。

（五）我们现在使用的“度”概念，作为科学的术语则来自西学。英文degree，法文degré，德文Grad，来源于拉丁文degradare，原是“步”、“级”的意思。【6】梁宗巨《世界数学史简编》，辽林人民出版社，1980年版，第29页）这种抽象性的“度”，应用在数学中、天文学中都有各自的基本定义，与中国古代天文学的“度”字完全不同。

中国古代的天文学研究、数学研究，一直依据西式的思维方式与数学计算，包括引进的这个“度”概念，对于中国的古“度”完全不知，认知“旬”字是表示十日，但不知“旬”字还表示的推步法路线图与黄金分割率。

所以，尽管百年来学术研究的成果丰硕，令世人举目，但未见天文学的基本数值，或者说是一种见不到年、月、日、时的天文学。不断有新石器时代的考古资料出土，天文学、数学上的释读非常困难，古今隔膜的固化严重。

总之，“旬”字与36个“旬”（360度）挂钩，又与1个黄金分割率挂钩（1度，第37个旬）【7】董作宾、陈梦家、岛邦男、许建雄、常玉芝等对于殷墟卜文中周祭制度的研究，初步形成的共识是有三十六旬和三十七旬两种周期，并推论三十六旬与太阳年360天相关，增加到三十七旬，有的认为是365天多，有的认为在360日—370日中间，这已经触摸到中国古度的实质，但没有数学的理念与算法。其实，第37旬是运算外插法，诚可谓最为关键的一次十进制与六十进制的交换运算，唯独这一“旬”的十日变为少于六日而多于五日之数，就是365天多至366天少之间。这个问题另文探讨），牵连天文学的年、月、日、时的基本数值，内涵极其丰富，它是数学天文学的命脉之所在。黄金分割率的算法是天文学中的“优选法”。 再强调一下，数学天文学表达式与算法的方形、小方格均关联360度（36个旬），而小方格是运算的基本方式。

现在所谓的“中国古度”，是汉代“周天度”，或“岁长天”，称为“四分历”，这个数值未见说明算法。【8】陈遵妫《中国天文学史》，上海人民出版社，2016年版，第146页）这与新石器时代的真正古度有天壤之别。这个“°”是让我们的研究者非常尴尬的一个数，

【9】〔英〕李约瑟《文明的滴定》认为：“中国没有把刻度环分成360°，而是根据一年的日数分成°。初看起来这似乎很笨拙，但实际上确有好处。商务印书馆，2018年版，第67页。此外，江晓原、纽卫星《中国天学史》引述日本饭岛忠夫1925年发表的《支那古代史论》认为，中国四分历取回归年长度为日，是源自古希腊欧多克斯。上海人民出版社，2005年版，第14页）关键是丢失了自己的360度与度本身，致使°前后失据，没有根基。

（二）用黄金分割率运算周年视运动的春分点太阳年的长度，极简的算法是：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.5＝0.11875

e.0.118×36＝4.275

F.4.275＋360＝364.275

G.364.275＋1＝365.275

这个春分点太阳年长度365.275天，是恒定的标准数值，不受视运动推步法的具体区域、视域、气候、物候等特点的影响。也就是说，数学天文学一降生就有这五个数值：一个是干支集合论三合函数，一个是周年视运动基数360度，一个是春分点太阳年长度365.275天，一个是“旬”字的黄金分割率0.618；一个是周日视运动的24时辰。冬至点回归年则不同，必须按照推步法的具体观测点的观测数据进行交换运算。数学天文学的理论模型，历法天文学是数学天文学的具体应用。

殷商“癸”字有三种形体：“”（《铁云藏龟》112.3）形表示天体运转的坐标，东西向对角线指向春分点与秋分点；东北向对角线指向夏至点与冬至点；“”（《殷契佚存》545）形也表示这种坐标，但增加了天体周转以外的短线，有运算外插法的意思。 晚商《 癸㱃卣》铭文“癸”（，《集成》4839）形表示天体运转的南北极，两极均有天体周转以外的短线，也有外插法的意思。这与“旬”字所指是对应的，显示出周天360度与外插法的算法。

西方天文学史不同，起源很早而计算较晚，因为其数学与天文学分作两个学科，例如，古巴比伦的可以称作是“计算天文学”的起点，大约在公元前500年，真正使用锯齿形函数计算的天文学是始于公元前132年，而数学在公元前2000左右就已经有了成熟的十进制与六十进制。简单的说，数学与计算天文学相距1500年。这与西方科学起源的多头线索相关。【10】〔美〕戴维·林德伯格《西方科学的起源——公元前1450年之前宗教、哲学、体制背景下的欧洲科学传统》，张卜天译，商务印书馆，2019年版，第20—21页、第24—25页。按：巴比伦占卜天象与天文学混合在一起，涉及诸神与地界事物的关系非常广泛，在计算天文学之前已有数个世纪，甚至时间更长。

华夏先民的想法很实在，没有数值与算法，就谈不上有天文学。年、月、日、时都不知道，日出而作、日落而息干什么？【11】江晓原等《中国天学史》依据殷墟卜辞的天学研究成果，参照中国天文学史整理研究小组编著《中国天文学史》，归纳出殷代天文学的八个要点：（1）阴阳合历。（2）年有平闰、月有大小。（3）年终置润。（4）尚无四季的划分，只有春、秋。（5）可能已有测定分、至的知识。（6）岁首已基本固定。（7）以新月为一月之始。（8）年、月之始及闰月的设置都是根据实际观测决定的，尚未能做到预先推算。上海人民出版社，2005年版，第11页。按：这种关于学术研究进展的归纳比较客观、准确、公允，相当于认为殷商时代270余年的天文学，没有具体数值与算法。冯时《百年来甲骨文天文历法研究》认为：“没有古人对时间的掌握，便不会有农业文明的出现”，又将中国古代天文学的起始定于河南舞阳贾湖和安徽蚌埠双墩的新石器时代遗存，这种理念是合理的，然而在百年来殷商甲骨文天文历法研究的总结中，未见到殷人的年、月、日、时的一个数值。中国社会科学出版社，2011年版，第344—351页。按；百年来研究者非常关注天文历法的数值问题，也孜孜以求，但毫无殷商“数学”的理念与知识，天文学的数值就没有着落）曲安京《中国数理天文学》认为，春秋以前“还没有科学的历法出现”，“由于中国传统数理天文学采用的主要是数值方法，与西方传统的几何模型很不相同，在大多数情形下，从形式上根本看不到两者的任何相似之处。”【12】科学出版社，2008年版，第24—25页、第22页）这种论断直接了当，就是用西式的数学标准看，中国传统是“数值方法”，西方传统是几何模型，这代表着现在学界的主流看法，数学思维是合理的，但中国远古的农业文明的讲述则遇到麻烦，什么时间春种秋收呢？

还有一个硬核的数值可能被忽略了，古希腊天文学的地心说占据西方1300多年，缺失地球绕自转轴自转的周日24度（时辰）的数值与算法，用这种西式的算法来对待中国古代天文学的数值，可能就是一片空白。

中国古代的数学天文学，首先是“几何模型”，不只是数学工具，而是天文学本身，同时也是“数值方法”，有完整的年、月、日、时的基本数值，这可以与现代科学的数学方法对接、交换。为什么研究者视而不见呢？意大利画家达·芬奇的黄金分割比例的形像，我们耳熟能详；中国殷商甲骨文的“旬”字的黄金分割率之螺旋线，我们则看不懂？这首先是科学史研究的一个“可公度性”问题，这两种数学思维的“度”应该有“公度”。中国古代的天文学研究、数学研究，说不说天体运转的“度”、数量计算的“度”？是说引进的西式的“度”，或者中国古法的“度”，亦或是对接、交换的度？这个问题根本无法绕开走。（待续）

2022年1月12日于武昌